[2025수능대비/미적분 개념간단정리]PDF파일 첨부완료

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미적분_개념.pdf

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1. 수열의 극한

1. 기본 개념:
   • 수열의 극한은 수열이 특정 값에 가까워지는지 확인하는 과정입니다. 예를 들어, 수열 $( a_n )$이 무한히 이어질 때, 특정 값 $( \alpha )$에 가까워진다면, $( \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha )$라고 표현합니다.
   • 예제: 만약 $( \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha )$라면, 수열의 모든 항이 $( \alpha )$로 수렴하는 것입니다.
2. 수렴과 반례:
   • 수열이 수렴하지 않는 경우도 있습니다. 대표적인 예는 진동 수열입니다. 예를 들어, 수열이 0, 1, 0, 1과 같이 번갈아 나타나는 경우, 특정 값에 수렴하지 않아 극한이 없습니다.
3. 극한 계산 방법:
   • 무한대 꼴의 계산에서 유리화를 통해 단순화할 수 있으며, 예를 들어, $( \frac{\infty}{\infty} )$ 꼴의 극한은 유리화를 통해 계산합니다.
   • 대표 유형: 샌드위치 법칙, 등비수열 극한 계산 등을 통해 극한을 구하는 문제.

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2. 특별한 수열과 급수

1. 등비수열의 극한과 수렴 조건:
   • 공비가 -1과 1 사이일 때 등비수열이 수렴합니다. 이때 초항과 공비를 활용해 급수의 수렴 요건을 정리합니다.
   • 등비급수의 수렴 조건: 공비가 1이나 -1이 아닌 경우 수렴합니다.
2. 대표 급수:
   • 대장 수열, 무한 등비급수 등이 있으며, 무한히 더해가는 방식으로 수렴 여부를 판단합니다.
   • 예제: 대표적인 급수 형태로는 부분분수, 무한 등비급수 등이 있습니다. 무한 등비급수는 도형과의 연계로 자주 나오며, 공비와 초항을 통해 극한값을 구합니다.

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3. 미분

1. 미분 기본 개념:
   • 미분계수와 미분 정의에 대한 개념을 익힙니다. 미분은 주어진 함수의 변화율을 나타내며, 접선의 기울기를 구하는 과정과 연관됩니다.
2. 미분법:
   • 미분법은 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 미분을 포함해 다양한 함수의 미분 방법을 배우는 과정입니다.
   • 지수함수 미분: $( e^x )$의 미분은 $( e^x )$로, $( a^x )$는 $( a^x \ln a )$로 미분합니다.
   • 로그함수 미분: $( \ln x )$의 미분은 $( \frac{1}{x} )$입니다.
   • 삼각함수 미분:
     • $( \sin x )$의 미분은 $( \cos x )$, $( \cos x )$의 미분은 $( -\sin x )$입니다.
     • $( \tan x )$의 미분은 ( $\sec^2 x )$입니다.
3. 미분법의 확장:
   • 분수함수 미분법: 분자와 분모의 함수가 주어진 경우, 분모의 제곱을 분모로 놓고 계산하는 방법입니다.
   • 합성함수 미분법: 주어진 함수가 합성된 경우, 바깥 함수의 미분 후 안쪽 함수의 미분을 곱하는 방식으로 계산합니다.
   • 매개변수 미분법: 변수를 매개변수로 두고 미분하는 방법으로, 각각을 매개변수로 미분해 최종적으로 합성합니다.
   • 음함수 미분법: 미분을 통해 y 에 $( \frac{dy}{dx} )$를 붙이는 방식으로, 특히 원의 방정식 등에서 사용합니다.

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4. 극한과 삼각함수 공식

1. 극한 문제 풀이법:
   • 극한 문제에서는 편리하게 계산할 수 있도록 근사치를 활용합니다. 예를 들어, $( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 )$과 같은 기본 극한을 외워두어야 합니다.
   • 추가 예제: $( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} )$ 등의 극한 문제에 대해 근사치를 활용해 계산을 빠르게 수행합니다.
2. 삼각함수 공식:
   • 삼각함수의 덧셈 정리, 배각 공식, 반각 공식 등 다양한 삼각 함수의 공식을 외워 사용합니다.
   • 예제:
     • 덧셈 정리: $( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b ).$
     • 배각 공식: $( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta ), ( \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta ).$
     • 반각 공식: $( \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2} ), ( \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2} ).$

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5. 활용

1. 접선과 기울기:
   • 미분을 통해 주어진 함수의 접선을 구할 수 있습니다. 접선은 함수의 특정 지점에서 기울기를 구해 직선을 만드는 과정입니다.
   • 공식: $( y = f'(a)(x - a) + f(a) )$
2. 평균값 정리와 롤 정리:
   • 롤 정리: ( f(a) = f(b) )일 때, 구간 내에서 미분값이 0인 지점이 존재하는지 확인합니다.
   • 평균값 정리: $( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} )$와 같은 형태로 함수의 평균 기울기와 일치하는 지점을 찾습니다.

 

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[공부한 영상 링크 첨부]

https://youtu.be/cQzNhHY6584?si=88tqQ2Je5If1DJx