[2025수능대비/수학2 간단개념정리]PDF파일 첨부완료

노션에서 작성 후 붙여넣기하니 많이 깨지네요. 하단에 PDF파일도 첨부하겠습니다. 위 아래 첨부파일 같습니다.

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수학2개념.pdf

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함수의 극한

1. 극한의 기본 개념
   • 정의: $( \lim_{x \to a} f(x) )$에서 $( x )$가 $( a )$에 가까워질 때 함수 $( f(x) )$의 값이 일정 값에 가까워지는 성질.
   • 부정형 형태:
     • $( \infty / \infty ), ( 0/0 ), ( \infty - \infty ), ( 0 \times \infty )$ 등이 부정형. 이들은 특별한 계산 방법을 통해 해결합니다.
     • 예제: $(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 2}{5x^2 + x - 1})$
       • 풀이: 분모와 분자를 최고차항으로 나누어 $( \frac{3}{5} )$로 수렴.
2. 극한의 성질
   • 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 성질: 각 항목이 극한값이 있을 때, 각 연산에 극한 적용 가능.
   • 예제:
     • $(\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x))$
3. 극한의 대표 예제 풀이
   • 문제: $(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x})$
   • 풀이: $( = 2 \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 2 )$
   • 답: ( 2 )

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연속성

1. 연속의 정의
   • 정의: 함수 $( f(x) )$가 점 $( x = a )$에서 연속이려면, 좌극한, 우극한, 함수값이 모두 같아야 함.
     • 조건: $(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a))$
2. 연속 함수의 성질
   • 두 연속 함수의 합, 차, 곱, 나누기 연산 결과는 모두 연속함수.
3. 연속성 확인 예제
   • 문제: $( f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 2 \\ 3x - 4 & x > 2 \end{cases} )$에서 ( x = 2 )에서의 연속 여부.
   • 풀이: $( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 ), ( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 )$ → 값이 다르므로 불연속.

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사잇값 정리

1. 정의: 닫힌 구간 $([a, b])$에서 연속인 함수 $( f(x) )$가 주어질 때, $( f(a) )$와 $( f(b) )$ 사이의 임의의 값 $( k )$에 대해 $( f(c) = k )$를 만족하는 $( c )$가 열린 구간 $((a, b))$ 내에 존재.
2. 적용 예제
   • 문제: $( f(x) = x^3 - x )$가 구간 ([1, 3])에서 연속일 때, $( f(x) = 5 )$를 만족하는 값이 존재하는지 확인.
   • 풀이: $( f(1) = 0 ), ( f(3) = 24 )$. 0과 24 사이에 5가 포함되므로, 사잇값 정리에 의해 존재.

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극한의 특수 정리들

1. 샌드위치 정리 (스퀴즈 정리)
   • 정의: $( g(x) \leq f(x) \leq h(x) )$가 특정 구간에서 성립하고, $( \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L )$일 때, $( \lim_{x \to a} f(x) = L )$
   • 예제: $( f(x) = \sin(x)/x )$에서 $( x \to 0 )$일 때.
     • 풀이: $( -1 \leq \sin(x)/x \leq 1 )$, 두 함수의 극한이 모두 0이므로 $( f(x) )$의 극한은 0.
2. 사잇값 정리와 최대 최소 정리
   • 최대 최소 정리: 연속 함수는 주어진 구간 내에서 반드시 최대, 최소값을 가집니다.
     • 사용 예시: 함수의 그래프에서 절대 최대, 최소값을 구할 때 활용.

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미분

1. 미분의 정의 및 미분 계수
   • 정의: 함수의 변화를 나타내는 개념으로, 점에서의 순간 기울기.
   • 평균 변화율: $( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} )$로 기울기를 구함.
   • 미분계수:
     • $( f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} )$ 또는 $( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} )$.
2. 미분 성질과 곱함수의 미분
   • 덧셈과 곱의 미분: $( (f \cdot g)' = f'g + fg' )$
3. 롤의 정리와 평균값 정리
   • 롤의 정리: 함수가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능하며 $( f(a) = f(b) )$일 때, $( f'(c) = 0 )$을 만족하는 $( c \in (a, b) )$가 존재.
   • 평균값 정리: $( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} )$를 만족하는 $( c \in (a, b) )$가 존재.
4. 예제
   • 문제: $( f(x) = x^2 )가$ $([1, 3])$에서 롤의 정리를 만족하는지 확인.
   • 풀이: $( f(1) = 1, f(3) = 1 )$이므로 $( f'(x) = 0 )$인 $( x = 2 )$에서 성립.

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적분

1. 부정적분과 정적분
   • 부정적분: $( F'(x) = f(x) )$일 때, $( \int f(x)dx = F(x) + C )$.
   • 정적분: $( \int_a^b f(x) dx )$, 구간 내에서 넓이를 계산하는 방법.
   • 정적분의 성질:
     • 연결: $( \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx )$
     • 교환: $(\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx )$
2. 넓이와 정적분의 기하학적 의미
   • 그래프 아래 영역의 넓이로 정의됨.
   • 대칭성과 교환 법칙을 활용하여 넓이 구할 수 있음.
3. 미적분 정리:
   • 정의: $( F(x) = \int_a^x f(t) dt )$일 때, $( F'(x) = f(x) )$.
   • 예제:
     • 문제: $( \int_0^x t^2 dt )$
     • 풀이: $( F(x) = \frac{x^3}{3} )$

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실전 개념 (예제 및 문제 풀이)

1. 속도와 가속도 문제
   • 속도: 위치 함수를 미분한 값.
   • 가속도: 속도를 다시 미분하여 구하는 값.
2. 대칭성과 우함수, 기함수
   • 대칭성을 활용하여 문제를 해결합니다.
   • 예: $(\int_{-a}^a f(x) dx)$에서 $( f(x) )$가 우함수이면 $( 2 \int_0^a f(x) dx )$로 계산 가능.

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[출처] 공부한 영상

https://youtu.be/9IZkQdeXLHM?si=svtqOPLFqjPZKT6Q